Максим Кутовой родился 1 июля 2001 года в Славянске-на-Кубани (Краснодарский край). Начинал играть в местном ДЮСШ «Олимп», но в раннем возрасте перешёл в академию ФК «Краснодар», где прошёл все этапы становления игрока.

Вызывался в юношескую сборную России каждый год с 2016 года по 2019 год – от U-15 до U-19. Забил 16 мячей в 27 матчах в национальных командах различных возрастов.

В мае 2018 сыграл единственный матч в ПФЛ за «Краснодар-2», после чего стал игроком Первой Лиги. Сыграл за дубль «быков» в 105 матчах и забил 9 голов. 18 сентября 2022 года дебютировал за основную команду «Краснодара» в РПЛ, забил 1 гол в 11 матчах. В августе 2023 года перешёл в «СКА-Хабаровск» в результате трансфера и заключил с клубом контракт на три года.