Андрей начинал заниматься футболом в родном Иркутске, а завершал «футбольное образование» в московском «Строгино».

Сезон 2022-2023 полузащитник провёл в Хабаровске, выступая за СКА-2. В составе второй команды армейцев Андрей выходил на поле 28 раз, отличился двумя забитыми мячами.

Дальше в карьере Путилова был ФК «Иркутск». За два с половиной года за команду родного города он провёл более 50 игр, в которых забил 10 мячей.

В январе 2026 года начал сборы вместе с главной командой «СКА-Хабаровск». В товарищеском матче со «Спартаком» из Костромы 31 января забил дважды, чем внёс весомый вклад в итоговую победу армейцев со счётом 3:1