Александр родился в Барнауле, где в местном «Динамо» и начал профессиональную карьеру.

В российской премьер-лиге провёл более 110 матчей за «Анжи», «Томь», «Балтику» и «Ахмат». Несколько лет выступал в Германии за ФК «Зандхаузен». В первой лиге играл за «Волгарь», «Енисей» и «Челябинск».

В прошлом сезоне за «Челябинск» провёл 30 матчей в Лиге ПАРИ, в которых забил 4 мяча. Перед переходом в «СКА-Хабаровск» сыграл два матча за СКА Ростов в Кубке Медиалиги.

В 2015 году главный тренер сборной России Фабио Капелло включал Александра в расширенный состав. В 2020 Станислав Черчесов вызывал Жирова на сбор национальной команды.